Monday, March 16, 2009

കര്‍മ്മണിപ്രയോഗങ്ങളില്‍ ഒരു ഗണിതപ്രയോഗം

വെള്ളെഴുത്തിന്റെ കര്‍മ്മണിപ്രയോഗങ്ങള്‍ എന്ന പോസ്റ്റില്‍ ഒരു ചെറിയ കഥ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു. അമേരിക്കന്‍ എഴുത്തുകാരന്‍ ഫ്രാങ്ക് ആര്‍ സ്റ്റോക്ടണ്‍ എഴുതിയ ഒരു കഥ. രത്നച്ചുരുക്കം ഇങ്ങനെ. രാജകുമാരിയെ സ്നേഹിച്ച് ചെറുപ്പക്കാരനെ കുടുക്കാന്‍ വേണ്ടി രാജാവ് ഒരു മുറിയില്‍ സിംഹവും വേറേ ഒരു മുറിയില്‍ ഒരു സുന്ദരിയേയും ഇട്ട ശേഷം തടവുകാരന് ഇഷ്ടമുള്ള മുറി തുറക്കാന്‍ അനുവദിക്കുന്നു.

അതായത് രക്ഷപ്പെടാനോ മരിക്കാനോ ഉള്ള സാദ്ധ്യത 50-50. കഥയ്ക്ക് വ്യക്തമായ ക്ലൈമാക്സ് ഇല്ല. വായനക്കാരില്‍ അവസാനിക്കേണ്ട സസ്പെന്‍സ്. എന്തായിരിക്കും എന്തായിരിക്കും എന്ന് ആലോചിച്ച് കമന്റു പോലും ഇടാതെയിരുന്നപ്പോഴാണ് ബാബു കല്യാണം കഥയ്ക്ക് ഒരു ക്ലൈമാക്സ് കണ്ടു പിടിച്ചത്.

"I've read the Martin Gardner version of the story... The climax is like
this..."he stands in front of the wall between the doors, and opens both the
doors at the same time and hid himself between the triangle shaped room created
between the doors and the wall between the doors. lions come out of one room,
enters the next room and that's that :-)"

പ്രശ്നം അവിടെ തീര്‍ന്നല്ലോ എന്നു കരുതി സമാധാനിച്ച് വെള്ളെഴുത്തിനെ വെറുതെ വിട്ടപ്പോഴാണ് ബാബു കല്യാണം അടുത്ത കമന്റ് ഇടുന്നത്

"Gardner's was just trying to find a soluടിon to the puzzle. So please done
blame him ;-) And he gave a much more complicated one in return and here it
goes....

രാജകുമാരിയുടെ കാമുകന്‍ രക്ഷപെട്ടത് കണ്ടു രാജാവിന്റെ ദേഷ്യം വീണ്ടും കൂടി.
ഇത്തവണ ശിക്ഷയില്‍ ഒരു മാറ്റം വരുത്തി. വാതിലുകള്‍ എല്ലാം ശരിയാക്കി (no more
cheating). The king will toss a coin, if it's head, he'll keep a lion in the
first room (otherwise a beautiful girl)and repeat the same procedure for the
second room as well.
The princess's lover can chose to open one and only one
room. What's the probability that he may survive?
PS: He looked at the
princess. This time she doesn't know. But there was a pale expression on her
face. ;-)"


ശ്ശേടാ ഇതു വീണ്ടും ഗുലുമാലായല്ലോ എന്ന് കരുതി, രാജാവിന്റെ പുതിയ കെണിയില്‍ തടവുകാരന്‍ രക്ഷപ്പെടാന്‍ ഉള്ള സാധ്യത എത്ര , മരിക്കാന്‍ ഉള്ള സാധ്യത എത്ര എന്നു വെറുതെ ഒന്നു ചിന്തിച്ചു. അത് അവിടെ കമന്റായി ഇടുകയും ചെയ്തു.

"മരിക്കാന്‍ ഉള്ള പ്രോബബളിറ്റി=രണ്ട് മുറിയിലും സിംഹം വരാന്‍ ഉള്ള
പ്രോബബിളിറ്റി + ആദ്യത്തെമുറിയില്‍ സിംഹം വരികയും ആ മുറി തുറക്കുകയും ചെയ്യാന്‍
ഉള്ള പ്രോബബിളിറ്റി + രണ്ടാമത്തെ മുറിയില്‍ സിംഹം വരികയും രണ്ടാമത്തെ മുറി
തുറക്കുകയും പ്രോബബളിറ്റി
1/4 + 1/2*1/4 + 1/2*1/4 = 1/4+2/8 = 4/8 =
1/2

സാങ്കേതികമായി പറഞ്ഞാല്‍ പ്രോബബിളിറ്റി കൂടുകയോ കുറയുകയോ
ചെയ്യുന്നില്ല.
ആത്യന്തികമായി ഒരു മാത്തമറ്റിക്കല്‍ പ്രശ്നം ആയത് കൊണ്ട്
വെള്ളെഴുത്തിനെ വെറുതെ വിട്ടിരിക്കുന്നു :) "


ഇതിനെ തുടര്‍ന്ന് രക്ഷപ്പെടാന്‍ ഉള്ള സാദ്ധ്യത താഴെ പറയും പ്രകാരം കണക്കാക്കിക്കൂടെ എന്ന് മധുസൂദനന്‍ ജീ ചോദിക്കുക ഉണ്ടായി.

"ടോസ്സ് ചെയ്യാതെ പെൺകുട്ടിയേയും സിംഹത്തെയും മുറിയിലിടാൻ ഒരു പെൺകുട്ടിയും
ഒരു
സിംഹവും മതിയായിരുന്നു. ടോസ് ചെയ്തിടാൻ രണ്ട് പെണ്കുട്ടിയും രണ്ട് സിംഹവും
വേണം. ഈ നാലു ജീവികളിൽ രണ്ടെണ്ണം സിംഹമായതിനാൽ മുറിയിൽ സിംഹമാകാനുള്ള സാദ്ധ്യത
നാലിൽ രണ്ട് സമം രണ്ടിൽ ഒന്ന്.
Events: [L]G, [L]L, [G]L,
[G]G
Probability:
[L]G, [L]L / [L]G, [L]L, [G]L, [G]G
ഇനി രണ്ടു
മുറികളിൽ ഒന്നു തന്നെ
തുറക്കാനുള്ള സാദ്ധ്യത വീണ്ടും രണ്ടിൽ ഒന്ന്.
അപ്പോൾ
ഒന്നിച്ചുള്ള സാദ്ധ്യത സമം
½ ഗുണം ½ സമം ¼ ആയില്ലേ?"


അതായത് കോയിന്‍ ടൊസിംഗിന്റെ സാധ്യതയായ 1/2 * സിംഹം
വരാന്‍ ഉള്ള സാധ്യതയായ 1/2 ഉമായി ഗുണനപ്രക്രിയ ചെയ്യുന്നു.

ഇതിനുള്ള ഉത്തരം രണ്ട് കമന്റുകളിലൂടെ അവിടെ നല്‍കുക ഉണ്ടായി.
1. ഇവിടെ

2. ഇവിടെ


കമന്റിലെ കാല്‍ക്കുലേഷന്റെ തിയറി താഴെ പറയും പ്രകാരമാണ്.

Probability is assigned to certain repeatable events. The probability P(E) of an event E is a measure of therelative frequency with which those events occur. It is therefore a number lying between 0and 1. If it isequal to 0, that means the event cannot occur at all. If it is 1, that means it is certain. For example, if youtoss a coin in the air, it will presumably land ‘heads’ exactly as often as it lands ‘tails’, so the probability ofeither event is 1/2. If you throw a single die, the probability of any one of the 6 faces coming out on top is1/6. Even elementary events like this can be combined to make up more complicated ones, as we shall seein a moment. For example, if you throw a single die, what is the probability that the score is 3 or less?There are three basic rules which tell us how to compute the probability of more complicated events withouta great deal of trouble.

• Complementarity. If E is an event with probability P(E), then the probability that E doesn’t occur is1 − P(E).

• Sum. If E and F are two events which cannot occur simultaneously, then the probability that either Eor F occurs is P(E) + P(F).

• Product. If E and F are two independent events, then the probability that both occur is P(E)P(F).

the first and second rule, we have this consequence:• If an event has possible distinct outcomes E1, E2, . . . , En then the sum of the probabilities P(Ei) is 1.

Informally, you can just say that, after all, something has to happen! And if you have listed all the possibilities,then it has to be one of them.As for the product rule, independent events are ones which do not affect each other at all.


ഇത് പൂര്‍ണമായും സംശയനിവാരണത്തിന് ഉതകുന്നില്ല എന്ന് ബോധ്യം വന്നതിനെത്തുടര്‍ന്ന് പ്രോബബിളിറ്റി ഉപേക്ഷിച്ച് ഒരു എണ്ണല്‍‌പ്രശ്‌നം (counting problem) ആയി മാറ്റിയ ശേഷം ഒരു കമന്റു കൂടെ ഇട്ടൂ

"ഒന്നു കൂടെ ലളിതവല്‍ക്കരിച്ച് പറയാം..

ഇവിടെ പ്രോബബിളിറ്റി ഒഴിവാക്കി വെറും കൗണ്ടിംഗ് പ്രോബ്ലം ആയി
ചെയ്യുകയാണ്.

ആദ്യത്തെ മുറി തുറക്കുമ്പോള്‍ :

രണ്ടിലും സിംഹം വന്ന കേസില്‍- മരിക്കുംആദ്യത്തേതില്‍ സിംഹം വന്ന കേസില്‍ -
മരിക്കുംആദ്യത്തേതില്‍ സുന്ദരി വന്ന കേസില്‍ - രക്ഷപ്പെടുംരണ്ടിലും സുന്ദരി വന്ന
കേസില്‍ - രക്ഷപ്പെടും

രണ്ടാമത്തെ മുറി തുറക്കുമ്പോള്‍ :
രണ്ടിലും സിംഹം ആണെങ്കില്‍ -
മരിക്കുംആദ്യത്തേതില്‍ സിംഹം വന്ന കേസില്‍ - രക്ഷപ്പെടുംആദ്യത്തേതില്‍ സുന്ദരി വന്ന
കേസില്‍ - മരിക്കുംരണ്ടിലും സുന്ദരി വന്ന കേസില്‍ - രക്ഷപ്പെടും.

ആകെ കേസുകള്‍ -8

രക്ഷപ്പെടുന്ന കേസുകള്‍ - 4, Probabilty - 4/8 =
1/2

മരിക്കുന്ന കേസുകള്‍ - 4 , Probability - 4/8 = 1/2


അനുബന്ധം :- ഏതാണ്ട് എല്ലാ പ്രോബബിളിറ്റി പ്രശ്നങ്ങളേയും കൗണ്ടിംഗ്
പ്രശ്നങ്ങള്‍ ആയി മാറ്റാവുന്നതാണ്. പക്ഷേ കൂടുതല്‍ സയന്റിഫിക് മെത്തേഡ് എന്നു
പറയുന്നത് അതിനെ പ്രോബബിളിസ്റ്റിക് ആക്കി സോള്വ് ചെയ്യുന്നത് ആണ്. അതു കൊണ്ട്
അങ്ങനെ ചെയ്തു എന്ന് മാത്രം.

പോരാത്തതിന് നമ്പര്‍ ഓഫ് കേസസ് കൂടുന്നതിന് അനുസരിച്ച് കൗണ്ടിംഗ് ദുഷ്കരം
ആവും.(ഇത് വെറും സിമ്പിള്‍ കേസ്) അതു കൊണ്ട് ഒന്നു കൂടെ അഭികാമ്യം പ്രോബബളിറ്റി
പ്രശ്നം ആയി കണ്‍സിഡര്‍ ചെയ്യുന്നത്‌ തന്നെ."


ഇതിന്വളരെ ലളിതവും വ്യക്തവുമായ ഒരു വിശദീകരണം ഉമേഷ്ജീ ഗുരുകുലത്തിലെ ഈ പോസ്റ്റില്‍ നല്‍കിയിട്ടുണ്ട്. ഉമേഷ്ജീക്ക് നന്ദി.

സാദാ പ്രശ്‌നങ്ങളെ സാദ്ധ്യതാപ്രശ്‌നങ്ങളാക്കി ചിന്തിക്കുന്നത് വളരെ രസകരമാണ്. എണ്ണല്പ്രശ്നങ്ങളും സാദ്ധ്യതാപ്രശനങ്ങളും തമ്മില്‍ ഉള്ള ബന്ധം അതിലും രസകരമാണ് അത് ഇനിയൊരു പോസ്റ്റില്‍.

ഈ ചര്‍ച്ചയില്‍ പങ്കെടുത്ത വെള്ളെഴുത്ത്, മധുസൂദനന്‍ പേരടി, ബാബു കല്യാണം ഉമേഷ് എന്നിവര്‍ക്ക് ഒരിക്കല്‍ക്കൂടി നന്ദി.

ഓഫ് :ഓഫടിച്ച് ഓഫടിച്ച് വെള്ളെഴുത്തിന്റെ പോസ്റ്റിനെ ഒരു വഴിക്കാക്കിയപ്പോള്‍ എന്തൊരാശ്വാസം! :)

CopyLeft Information

Singularity എന്ന ബ്ലോഗില്‍ പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്ന ലേഖനങ്ങള്‍ എല്ലാം പൊതുതാല്പര്യാര്‍ത്ഥം ഉള്ളതാണ്. അവ ലേഖകന്റെ അനുമതി കൂടാതെ തന്നെ വാണിജ്യപരമോ വാണിജ്യേതരമോ ആയ എന്താവശ്യത്തിനും ഏതൊരാള്‍ക്കും എപ്പോഴും എത്ര തവണ വേണമെങ്കിലും മാറ്റങ്ങളോടെയോ അതേ പടിയോ ബ്ലോഗിലോ ഇതരമാധ്യമങ്ങളിലോ സ്വതന്ത്രവും സൌജന്യവുമായി ഉപയോഗിക്കാം. മാറ്റം വരുത്തുന്ന പക്ഷം അതില്‍ ഈ ലേഖകന്‍‍ ഉത്തരവാദിയല്ല. പുനഃപ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്ന കുറിപ്പിനൊപ്പം മൂലലേഖനത്തിന്റെ രചയിതാവു് എന്ന സ്ഥാനം ലേഖകനു് നല്‍കുന്നതു് അഭികാമ്യം. എന്നാല്‍ ഇതു് നിബന്ധനയല്ല. മറ്റൊരാളുടെ പേരു് പകരം കൊടുക്കാന്‍ അനുമതിയില്ല. വീണ്ടും ഉപയോഗിക്കുന്ന പക്ഷം ആ വിവരം ലേഖകനെ അറിയിക്കണമെന്നും ഈ പകര്‍പ്പുപേക്ഷാപത്രം ഒപ്പം നല്‍കണമെന്നും താത്പര്യപ്പെടുന്നു.